Análisis espectral de una señal acústica: La transformada de Fourier

Como ya sabemos por entradas anteriores, las ondas complejas (periódicas y aperiódicas) están formadas por la superposición de ondas simples de determinada amplitud y frecuencia. Mientras que en las ondas complejas periódicas las ondas simples guardan una relación matemática entre ellas, en las ondas complejas aperiódicas esta relación es inexistente, produciéndose en estas últimas una gran variedad de componentes frecuenciales aleatorios en la señal acústica. Mientras que las primeras son características de sonidos descifrables por nuestro sistema auditivo, como el habla o la música, las segundas se relacionan con sonidos no descifrables por nuestro sistema auditivo, y por ello las percibimos como ruido.

Ser capaces de conocer las frecuencias de las ondas simples que componen una onda compleja es importante para los científicos ya que les permite desentrañar las propiedades de señales acústicas de interés como el habla o el ruido. Normalmente, al enfrentarnos al análisis de una onda compleja, como por ejemplo la generada por la producción de una sílaba, su simple visualización en el dominio temporal no nos aporta información sobre el rango o espectro de frecuencias que la componen. Para acceder a esta información frecuencial debemos llevar a cabo lo que conocemos como análisis espectral de la señal acústica.

La transformación matemática de Fourier o transformada de Fourier, desarrollada por el matemático francés Joseph Fourier a principios del S. XIX, nos permite obtener la información espectral de un sonido complejo producido en un determinado intervalo de tiempo, a partir de la información temporal de la que disponemos. Esta transformación puede realizarse también a la inversa (transformada de Fourier inversa). Es decir, nos permite obtener la información temporal de una onda compleja a partir de su información espectral.

De alguna manera, podemos pensar en la transformada de Fourier como un proceso matemático similar al que acontece en el oído humano. Nuestro oído recibe una onda compleja y la transforma en una descomposición de distintas frecuencias, que es un última instancia lo que acabamos percibiendo. La única diferencia entre el oído humano y el proceso de transformación de Fourier es que mientras que nuestro oído va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, la transformada de Fourier nos aporta información de todas las frecuencias existentes durante un intervalo determinado de tiempo.

Los gráficos espectrales o espectros de un señal acústica se caracterizan por representar la frecuencia en el eje de abscisas y la amplitud en el eje de ordenadas. Para una mejor comprensión de la transformada de Fourier podemos empezar pensando en cual sería el espectro de un tono puro. Como ya sabemos, el tono puro toma forma de onda simple de una frecuencia y amplitud determinada. Por lo tanto, su análisis espectral deberá constar de una sola frecuencia con una determinada amplitud. Esto podemos verlo en la Figura 1. En el panel de la izquierda vemos la representación temporal de un tono puro de 100Hz de frecuencia y a la derecha el correspondiente gráfico del espectro de esa misma señal.  Podemos comprobar como efectivamente el espectro del tono puro consta de un solo componente frecuencial (100Hz) de una determinada amplitud. En la Figura 2 podemos ver la representación temporal de una onda producida por la combinación de dos tonos puros de 200Hz y 400Hz, respectivamente. Nótese como el análisis espectral en el panel de la derecha indica la presencia de dos componentes frecuenciales (200Hz y 400Hz) de distinta amplitud.

Figura 1. Representación temporal de un tono puro de 100Hz (panel izquierdo) y análisis espectral del mismo tono (panel de la derecha). La amplitud refleja la presión sonora en Pascales
Figura 2. Representación temporal de una onda compleja resultante de la combinación de dos tonos puros de 200Hz y 400Hz (panel izquierdo) y análisis espectral de la misma onda (panel de la derecha). La amplitud refleja la presión sonora en Pascales

Una vez comprendidos los análisis espectrales de estas ondas mas simples, podemos pasar a analizar el espectro de señales complejas. La Figura 3 refleja el análisis espectral de una onda compleja resultante de la producción de la vocal incluida en la palabra en inglés “heard”. Vemos que su espectro incluye muchos mas componentes frecuenciales que en el caso del tono puro y la combinación de los dos tonos puros expuestos anteriormente. También observamos como existe una gran variabilidad en las amplitudes de los componentes frecuenciales que componen la señal.

Esta información espectral nos permite conocer la frecuencia fundamental y los armónicos de la señal acústica. La frecuencia fundamental corresponde al componente de frecuencia mas bajo presente en la vocal, en este caso aproximadamente 200Hz. Los armónicos por su parte corresponden a cada una de los componentes frecuenciales subsiguientes representados en el gráfico (en la Figura 3 indicamos tan solo tres de los armónicos a modo de ejemplo).

Figura 3. Análisis espectral obtenido realizando la transformada de Fourier en la vocal contenida en la palabra en inglés (“heard”). El valor referencia de 0dB se seleccionó para que todos los valores del espectro tuvieran un valor negativo en dB en el eje de ordenadas. La frecuencia se refleja en el eje de abscisas en kilohercios (KhZ). En el gráfico se indican la frecuencia fundamental y tres de los armónicos de la vocal.

Como vemos, la transformada de Fourier y el resultante análisis espectral nos permite conocer en profundidad las características de sonidos u ondas complejas. En próximas entradas discutiremos las aplicaciones clínicas de los análisis espectrales, especialmente a la hora de analizar la producción y procesamiento del habla.


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